Kis matematikai izék rovatunkban ma bulvárosodunk, és NYILVÁN népszerű témakört veszünk elő: a Fibonacci-sorozatot.
Fibonacci neve amúgy a kor – azaz a 12. és 13. század fordulója – szokásainak megfelelően simán annyi volt, hogy Leonardo, aki Pisában született, vagyis Leonardo di Pisa vagy Leonardo Pisano. A Fibonacci név egyébként becenév, és sosem használta. A róla elnevezett Fibonacci-sorozatot sem ő fedezte fel, mert az – kissé más formában – már a 6. századtól ismert volt indiai és arab szerzőktől. Maga Leonardo viszont felhasználta ezt Liber Abaci c. művében, amelyben nem mellesleg megismertette a nem véletlenül sötétnek nevezett középkorból kifelé botorkáló Európát az arabok által szerencsére megőrzött és részben továbbfejlesztett görög matematikával, meg az indiai matematika eredményeivel, ide értve a ma is használt számjegyírást (arab számoknak nevezzük, ámbár indiai eredetű) és egy lábjegyzetben mellékesen bevezette a helyiértékes írásmódot is.
A sorozatot egy meglehetősen fiktív problémával szemléltette: van egy újszülött nyúlpár (1 hím, 1 nőstény). A nyulak mindig 1 hónap után lesznek ivarérettek, onnantól havonta lesz egy új pár nyúlutódjuk, mindig 1 hím és 1 nőstény (pár). Az új nyulak is két hónap múlva újabb nyúlpároknak adnak életet, közben a régiek is újra és újra szaporodnak. A kérdés, hogyan nő (milyen haladvány szerint) a nyulak száma, pontosabban hány PÁR nyúl lesz az egyes hónapokban (nyulaink halhatatlanok)? Az első hónapban van az alap nyúlpárunk, azaz 1 pár.
A második végén megszületik az első nyúlpár. A harmadik végén már három lesz, a negyedik végén (mivel már az újak is ellenek) 5, és így tovább. A dolog jellegéből adódóan egy adott hónapban mindig annyi nyúlpár lesz, amennyi az előző hónapban volt, plusz annyi, amennyi két hónappal korábban (mert ennyi az adott hónap szaporulata). Vagyis a sorozat valahogy úgy épül fel, hogy az első tagja 1, a második 1, onnantól kezdve pedig minden tag az előző kettő összege. Kissé módosítva az eredeti történetet, ma a legtöbb szakirodalom inkább úgy definiálja a Fibonacci-sorozatot, hogy a nulladik tag 0, az első tag 1, minden további tag pedig az előző kettő összege.
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 és így tovább.
A matematika tudományának egyik klasszikus gyönyörűsége, hogy a féktelenül szaporodó, halhatatlan nyulak nagyon is elvont jelenségéből ki tud jönni valami olyasmi, ami aztán kifejezetten praktikus és hasznos. Az efféle sorozatokat REKURZÍV-nak szokás nevezni. Érdekességük, hogy habár egy akárhányadik (n-edik) tag mindig valamelyik előző tagok összegeként jön létre, ennek ellenére egy akárhányadik tagot meg lehet adni (igazából közelíteni) úgy is, hogy valami (többnyire elég nyakatekert) kifejezésnek az akárhányadik hatványa.
A Fibonacci-sorozat esetében ezt az ún. zárt alakot Binet-formulának nevezzük. Anélkül, hogy ezzel sokat foglalkoznánk (megtalálja, aki szeretné), egy dolgot azért érdemes belőle kiemelni: szerepel benne egy, többnyire a görög nagy fível jelölt irracionális szám (értéke kb. 1,618), amelyik meg arról nevezetes, hogy az ún. aranymetszés (aranyarány) kulcsszáma. Egyáltalán nem véletlenül egyébként a Fibonacci-sorozat két szomszédos tagjának aránya is ehhez a számhoz közelít, minél “sokadikabb” tagot vizsgáljuk. (Szándékosan nem akarva nagyon szakmázni: ez a fí nem más, mint a sorozat n-edik és (n-1)-edik tagja arányánának HATÁRÉRTÉKE, ha n tart a végtelenbe). Pl. a 8/5 arány az 1,4. A 13/8 az 1,625. A 21/13 kb. 1,615. A 34/21 az kb. 1,619. Ha megnéznénk az egymillió-egyedik meg az egymilliomodik tag arányát, az már NAGYON közel lenne ehhez a fí értékhez, a százmillió-egyedik és a százmilliomodik tag aránya még közelebb. Egyébként azt is észrevehetjük, hogy ezt a fít két oldalról “keríti be” az arányok sorozata: egyszer kicsit kevesebb, egyszer kicsit több.
De miért kedveli annyira a Fibonacci-sorozatot, illetve hozzá kapcsolódóan az aranymetszést a “bulvármatematika”? Hát mert viszonylag könnyen megérthető az alapja, és mert nagyon jól lehet vele kapcsolatban mindenféle rejtett miszticizmusba hajló érdeksséget bemutatni, kiváltani az emberekből az “azta” meg a “hűha” érzését. Van, aki egyenesen Isten létezésének bizonyítékát látja benne, de szittyatáltosoktól az ufóbolondokig mindenki talál benne valamit, ami – szerintük – pont az ő elméletüket igazolja. Mert hát tény, hogy a Fibonacci-sor számai lépten-nyomon szembejönnek a természetben. Pl. a virágok szirmainak száma gyakorlatilag mindig Fibonacci-szám. A sorozat számai alapján szerkeszthető ún. Fibonacci-spirál (nézzétek meg: szép) visszaköszön a csigaházak alakjától a napraforgó magjainak elhelyezkedésén át lilakáposzta leveleinek egymásba fonódásáig.
Nem véletlen a dolog: szinte minden élőlény egyetlen sejtből indul növekedésnek, amelyből lesz kettő, majd ezek közül néhány idővel újra kettéosztódik, és így tovább. Emlékezzünk a sorozatot bevezető nyulas példára: egy nyúlpárból kettő lesz, abból kis csúszással három, majd 5, majd 8. Ugyanez a “haladvány” jelenik meg (természetesen nem ennyire tiszta formában) valamennyi sejtosztódási eseményben is, végső soron pedig az élőlények testének alakjában és arányaiban is. Az persze már inkább filozófiai kérdés, hogy vajon AZÉRT a Fibonacci-sorozatból levezethető aranyarányt tekintjük természetesen szépnek, mert egyszerűen a természet gyakori aránya (ismerősségi faktor), vagy ennél valami mélyebben gyökeredző vonzalom ez. Én erre nem tudok válaszolni. szerintem más sem.
Meg van az a rohadtul vicces csoport, ahol gyakorlatilag bármilyen fotóra, képre Fibonacci-spirált illesztenek, csak nem találom meg az istennek se.